In 1963 is in Amerika de spelshow “Let’s make a deal” voor het eerst uitgezonden op TV. In deze TV-show kunnen de deelnemers prijzen winnen die achter drie deuren staan. De deelnemer moet echter wel een van de drie deuren kiezen. Dit driedeurenprobleem wordt ook wel het Monty Hall probleem genoemd. In Nederland staat dit probleem bekend als het Willem Ruis probleem. De reden hiervoor is dat Willem Ruis in zijn spelshow de deelnemers ook liet kiezen uit meerdere deuren bij het winnen van een prijs.

Wat is het probleem?

Deelnemers kunnen prijzen winnen tijdens een spelshow. De prijzen staan achter drie gesloten deuren. De deelnemers moet een keuzen maken voor een van de drie gesloten deuren. Achter deur 1 staat een auto (of een ander waardevol voorwerp). Achter deur 2 staat een geit (of iets anders van waarde). De deelnemer mag een keuze maken uit deze twee deuren en krijgt de prijs die achter de deur van zijn keuze staat. Nadat de deelnemer een keuze heeft gemaakt, opent de presentator een van de andere deuren waarachter een geit staat. De deelnemer wordt nu de mogelijkheid geboden door de presentator om te wisselen van deur. Wat moet de deelnemer doen? Moet hij een andere deur kiezen? Is de kans op het winnen van een prijs groter als de deelnemer van deur wisselt?

Probleemanalyse

Uit analyse van het probleem blijkt dat het voor elke deelnemer interessant is om van deur te wisselen omdat de kans verandert van 1/3 naar 2/3. Dit antwoord wordt door veel mensen als contra-intuïtief ervaren. Vele mensen denken dat er nog twee mogelijkheden zijn waardoor de kansen 1/2 en 1/2 moeten zijn. Het is voor veel mensen moeilijk te begrijpen dat ondanks dat er nog twee mogelijkheden zijn deze niet gelijke kansen hebben.

Wat is een kans?

Een kans of waarschijnlijkheid is een basisbegrip uit de kansrekening en statistiek. Het begrip kans kan op verschillende manieren worden geïnterpreteerd. Een van de interpretaties is de klassieke interpretatie. De klassieke interpretatie is dat een kans moet worden geïnterpreteerd als uitdrukking voor het optreden van gelijk mogelijke uitkomsten. In de klassieke opvatting gaat ervan uit dat aan elk van een eindig aantal, dus n, uitkomsten die alle even waarschijnlijk zijn, de kans 1/n toegekend. Dit wordt ook wel symmetrie genoemd.

Er zijn verschillende soorten kansen. Een van deze soorten is de voorwaardelijke kans. Een voorwaardelijke kans of voorwaardelijke waarschijnlijkheid is de kans op een bepaalde gebeurtenis, gegeven dat een andere gebeurtenis plaatsvindt, waardoor de mogelijke uitkomsten beperkt zijn. De voorwaardelijke kans dat een gebeurtenis A plaatsvindt, gegeven dat een andere gebeurtenis B plaatsvindt, wordt genoteerd als en is gedefinieerd als:

Ρ(A | B) = P ( A ∩ B ) / P ( B )

De kans dat A en B zijn opgetreden wordt genoteerd als Ρ (A ∩ B), en de kans op B zelf wordt genoteerd als P (B). In plaats van de  bvoorwaardelijke kans op A, gegeven B, wordt ook vaak gesproken van de kans op A onder de voorwaarde B.

 

Uitleg oplossing

Om te begrijpen waarom de kans verandert van 1/3 naar 2/3 is het van belang om te weten van welke aannames moet worden uitgegaan. De aanname is dat de quiz wordt herhaald. Dan kan worden nagegaan hoe vaak een bepaalde situatie zich voordoet, wat vertaald wordt in kansen. Het is dus steeds een vraag naar een voorwaardelijke kans. Dit houdt in dat de kans berekend moet worden binnen de mogelijkheden die er zijn nadat de deelnemer een deur heeft gekozen en de presentator een deur heeft geopend waarachter een geit blijkt te staan.

 

Uitgangssituatie

Er wordt uitgegaan van de situatie dat de deelnemer deur 1 gekozen heeft en deur 3 geopend is en een geit laat zien. De mogelijkheden die uitgaande van deze situatie zich kunnen voordoen worden bekeken. Ook wordt ervan uitgegaan dat de auto geheel willekeurig achter een van de deuren is geplaatst en de deelnemer onbekend is met de plaats van de auto.

Vergelijkbare uitgangssituaties waarin de deelnemer een andere deur gekozen heeft en de presentator een andere deur heeft geopend, geven, onder verwisseling van de deuren, aanleiding tot een vergelijkbare analyse. De uiteindelijke oplossing is sterk afhankelijk van de strategie van de presentator. Er wordt verondersteld dat de presentator altijd een van de deuren met een geit erachter opent. Dus: wanneer achter de deuren 2 en 3 allebei een geit staat, de presentator willekeurig een van deze twee deuren uitkiest.

 

Oplossing

De formulering van het probleem wordt door velen beschouwd als het standaard ‘driedeurenprobleem’. De oplossing hiervan wordt geformuleerd ervan uitgaande dat de speler aanvankelijk deur 1 aanwijst. Wanneer de speler de mogelijkheid wordt geboden van keuze te wisselen, is een nieuwe situatie ontstaan waarin deur 3 geopend is. Om een goede beslissing te nemen berekent de speler in deze nieuwe situatie de kans dat de auto achter deur 2 staat. Deze kans is een voorwaardelijke kans.

Als de auto achter deur 2 staat, zal de presentator altijd deur 3 openen. Deze situatie doet zich voor met kans 1/3. Als de auto achter deur 1 staat, zal de presentator maar in de helft van de gevallen deur 3 openen. Deze situatie doet zich voor met kans 1/6. De auto staat in de gegeven situatie dus twee keer zo vaak achter deur 2 als achter deur 1. Door van keuze te wisselen wint de speler dus in 2/3 van de gevallen de auto.

Er kan geconcludeerd worden dat iemand in dezelfde situatie als de deelnemer, dus waarin aanvankelijk deur 1 gekozen is en de presentator deur 3 opende (waarachter een geit zat), bij wisselen een (voorwaardelijke) kans op winst heeft van 2/3.

 

Spelshow in de toekomst

Mocht je ooit besluiten om deel te nemen aan een spelshow waarin je kan kiezen uit drie deuren dan is het wisselen van keuze een verstandig besluit. De kans op het winnen van een prijs neemt dus toe als je wisselt van keuze. Dit is echter maar een van de interpretaties van het Monty Hall probleem. Hier zal in een andere blog op worden ingegaan.

Please follow and like us:

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *